Glossario di teoria dei gruppi

Questa pagina � dedicata ad un glossario di teoria dei gruppi che vuole anche aiutare, insieme alla pagina della Categoria:Teoria dei gruppi, a muoversi tra gli articoli afferenti a tale settore della matematica.

Un gruppo � un insieme munito di una operazione associativa dotata di elemento neutro e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione. In genere l'operazione di un gruppo viene chiamata prodotto e il suo elemento neutro viene detto unità o elemento identità. In questo articolo useremo e per denotare l'unità di un gruppo.

Table of contents

1 Definizioni di base
2 Proprietà di base di gruppi e sottogruppi
3 Omomorfismi tra gruppi
4 Strutture di base per i gruppi e operazioni di base sui gruppi
5 Collezioni specifiche di gruppi
6 Componenti di base dei gruppi e loro classificazioni

6.1 Gruppi semplici e loro classificazione

7 Nozioni di valenza generale
8 Oggetti matematici che contengono o utilizzano un'operazione gruppale
9 Algebra astratta
10 Altre discipline matematiche che fanno gran uso dei gruppi
11 Problemi famosi
12 Applicazioni dei gruppi
13 Maggiori contributori della teoria dei gruppi
14 Visione dei gruppi come formati da permutazioni e gruppi di simmetria
15 Rappresentazioni dei gruppi
16 Teoria dei gruppi computazionale
17 Altri argomenti

Definizioni di base

Ordine di un gruppo (G,*)

Cardinalità del suo insieme sostegno, cio� numero di elementi di G.

Gruppo finito

Gruppo di ordine finito.

Ordine di un elemento

Sinonimo di periodo di un elemento.

Periodo di un elemento x di un gruppo (G,*).

Minimo intero positivo m, se esiste, tale che x^m = e. L'ordine di un gruppo finito � divisibile per tutti i periodi dei suoi elementi.

Sottogruppo di un gruppo (G,*)

Sottoinsieme di un gruppo (G,*) chiuso per l'operazione * e per il passaggio all'inverso. Dato un sottoinsieme S di G, si denota <S> il pi� ridotto dei sottogruppi di G contenenti S.

Sottogruppo normale di un gruppo (G,*).

Sottogruppo H di G tale che per tutti i g in G e gli h in H, anche g*h*g⁻¹ a appartiene ad H.

Reticolo dei sottogruppi di un gruppo

Reticolo completo costituito dalla collezione dei sottogruppi e dalla relazione di inclusione fra insiemi.

Reticolo dei sottogruppi normali di un gruppo

Reticolo completo costituito dalla collezione dei sottogruppi normali e dalla relazione di inclusione fra insiemi.

Omomorfismo tra i gruppi (G,*) e (H,×)

Funzione f : G → H tale che per ogni a e b in G si ha

f(a * b) = f(a) × f(b) .

Nucleo di un omomorfismo tra gruppi

Sottoinsieme del dominio dell'omomorfismo che � controimmagine dell'unità del gruppo codominio dell'omomorfismo. Ogni sottogruppo normale di un gruppo � il nucleo di un omomorfismo tra gruppi e viceversa il nucleo di ogni omomorfismo � sottogruppo normale del gruppo dominio.

Isomorfismo tra gruppi

Omomorfismo tra gruppi dotato di funzione inversa. Anche l'inverso di un isomorfismo � un isomorfismo.

Gruppi isomorfi

Due gruppi si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo tra gruppi che trasformi l'uno nell'altro. Due gruppi isomorfi si possono pensare come essenzialmente identici, cio� come due presentazioni della stessa struttura con gli elementi diversamente etichettati. Una delle problematiche fondamentali della teoria dei gruppi � la classificazione dei gruppi a meno di isomorfismi.

Gruppo fattore, o gruppo quoziente di un dato gruppo G per un suo sottogruppo normale N

Gruppo indicato con G/N costituito dall'insieme dei laterali sinistri {aN : a∈G } munito dell'operazione di prodotto definita da

aN*bN := abN.

Teorema fondamentale sugli omomorfismi

La relazione che intercorre fra sottogruppi di un generico gruppo, i suoi gruppi quoziente e i relativi omomorfismi.

Prodotto diretto di gruppi, somma diretta e prodotto semidiretto di gruppi

Costruzioni che a partire da due (o pi�) gruppi forniscono nuovi gruppi (v. articoli).

Proprietà di base di gruppi e sottogruppi

Teoria dei gruppi elementare
Elemento identità
Reciproco
Sottogruppo
Laterale = coset
Teorema di Lagrange
Teorema di Eulero
Sottogruppo normale
Gruppo hamiltoniano
Sottogruppo caratteristico
Sottogruppo di torsione
Centralizzatore e normalizzatore
Sottogruppo stabilizzatore
Centro di un gruppo
Commutatore
Gruppo derivato
Coniugato
Classe di coniugio
Chiusura di coniugio
Nocciolo (gruppo) = core

Omomorfismi tra gruppi

Automorfismi
Gruppo degli automorfismi
Omomorfismo tra gruppi
Isomorfismo tra gruppi
Gruppo fattore
Gruppo quoziente
Omomorfismo
Automorfismo di ordine
Teorema dell'isomorfismo
Teorema fondamentale sugli omomorfismi
Automorfismo interno
Gruppo esterno degli automorfismi

Strutture di base per i gruppi e operazioni di base sui gruppi

Insieme generatore di un gruppo
Teorema di Sylow
Prodotto di gruppi
Prodotto diretto
Somma diretta
Somma diretta di gruppi
Somma sottodiretta
Prodotto semidiretto
estensione di un gruppo
Estrensione centrale
Coomologia di gruppo
Prodotto intrecciato
Prodotto libero
Gruppo libero
Gruppo abeliano libero
Presentazione di un gruppo

Collezioni specifiche di gruppi

Gruppo abeliano

Un gruppo (G,*) si dice abeliano se * � commutativo, i.e. se g*h=h*g per ogni g,h ∈ G. Viceversa il gruppo si dice non abeliano se la precedente uguaglianza non vale per qualche coppia g,h ∈ G.

Gruppo finitamente generato

Gruppo che contiene un insieme finito S tale che <S> = G.

Gruppo ciclico

Gruppo generato da un insieme S costituito da un solo elemento. Un tale gruppo può avere ordine finito (e in particolare ridursi semplicemente a {e}), oppure essere un gruppo ciclico di ordine infinito.

Gruppo ciclico di ordine finito

Gruppo il cui sostegno può assumere la forma {e, g, g², ... g^m-1}. Si ha invece g^m=e. In particolare si ha il gruppo ridotto a {e}.

Gruppo ciclico di ordine infinito

Gruppo il cui sostegno può assumere la forma

{..., g^-n,..., g^-2,g^-1, e, g, g², ... gⁿ, ...}.

Si tratta quindi di un gruppo numerabile isomorfo al gruppo additivo degli interi.

p-gruppo, con p numero primo.

Gruppo avente ordine della forma p^m per qualche positivo m.

p-sottogruppo.

Sottogruppo che � anche un p-gruppo.

Teoremi di Silow

Teoremi concernenti i p-sottogruppi.

Gruppo semplice

Gruppo che non contiene sottogruppi normali diversi dal semplice {e} e da se stesso. I gruppi ciclici contenenti un numero primo di elementi sono gruppi semplici con una struttura facilmente descrivibile. Contrariamente a quanto può suggerire la loro qualifica, vi sono gruppi semplici con una struttura estremamente complessa. Un esempio � fornito dal gruppo monster, gruppo di ordine superiore a un milione. Ogni gruppo finito � costruibile prendendo dei gruppi semplici ed operando delle estensioni di gruppi: dunque lo studio e la classificazione dei gruppi semplici finiti � centrale nello studio dei gruppi finiti in generale.

'''Classificazione dei gruppi semplici finiti

Filone di ricerca molto impegnativo condotto da un'agguerrita comunità di matematici nella seconda metà del XX secolo e che ha portato ad individuare tutti i gruppi finiti semplici.

Teorema enorme

Enunciato che presenta tutti i gruppi finiti semplici, cio� risolve il problema della classificazione di tali gruppi. Il nome � dovuto al fatto che la dimostrazione completa richiede sviluppi presentati in una gran quantità di articoli, per un complesso di circa 16000 pagine.

Gruppo finito abeliano

La struttura di un tale gruppo � relativamente semplice; ogni gruppo finito abeliano � la somma diretta di p-gruppi ciclici.

Gruppo abeliano finitamente generato

Lo studio dei gruppi abeliani finiti si estende in una classificazione completa di tutti i gruppi abeliani che possono essere generati da un insieme finito di elementi. La situazione � molto pi� complicata per i gruppi non-abeliani.

Gruppo libero

Dato un generico insieme A che conviene pensare come un alfabeto, si possono definire la giustapposizione fra le sue lettere e fra le sue parole: ad es. si pone (abb)*(bca):=abbbca e quindi il semigruppo delle parole su A. Si ottiene il gruppo libero generato da A ampliando questo insieme di parole con gli inversi delle lettere e semplificando le stringhe ottenuto attraverso l'eliminazione delle sottoparole delle forme a*a^-1 e a^-1*a. In altre parole � il gruppo pi� ridotto che contiene il suddetto semigruppo di parole.

Presentazione di un gruppo

Ogni gruppo (G,*) può considerarsi gruppo fattore del gruppo libero generato da G.

Problemi algoritmici sulle presentazioni di gruppi

• Date due presentazioni di gruppi, individuano due gruppi isomorfi?

• Una data presentazione individua il gruppo di un solo elemento?

Molti problemi di questo genere, ed in particolare il problema generale noto come problema della parola, si rivelano problemi unsolubili, cio� non trattabili da alcun algoritmo in grado di rispondere a tutte le loro istanze.

Gruppo generale lineare

Denotato GL(n, F), � il gruppo delle matrici invertibili

n × n con entrate nel campo F; particolarmente importanti i gruppi lineari generali sui numeri reali e sui numeri complessi.

Rappresentazione di un gruppo (da non confondersi con la presentazione di un gruppo)

Omomorfismo di un gruppo su un gruppo lineare generale. Può essere molto utile "rappresentare" un dato gruppo astratto su un gruppo concreto di matrici invertibili in quanto quest'ultimo � formato da entità che si sanno analizzare ed elaborare con strumenti ben noti.

Componenti di base dei gruppi e loro classificazioni

Esempi di gruppi
P-gruppo
Gruppo ciclico
Gruppo abeliano
- Rango di un gruppo abeliano
Gruppo finitamente generato abeliano
Gruppo nilpotente
Gruppo solubile
Gruppo diedrale
Gruppo V4 di Klein
Rappresentazione di un gruppo
Gruppo profinito
Gruppo localmente ciclico
Elenco di piccoli gruppi
Gruppo divisibile

Gruppi semplici e loro classificazione

Gruppo semplice
Gruppo simmetrico
Gruppo alternante
Gruppo lineare generale
Gruppo lineare speciale
Gruppo proiettivo
Gruppo di Mathieu
Gruppo di Janko
Gruppo di Conway
Gruppo di Fischer
Gruppo di Thompson (finito)
Gruppo di Tits
Gruppo Baby Monster
Gruppo Monster
Bimonster
Gruppo di Lie
Gruppo di Lie semplice
Gruppo di Weyl
Gruppo algebrico
- Sottogruppo di Borel
- Sottoggruppo parabolico
- Schema di gruppo
Gruppo di Chevalley